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数学]第2章 模糊控制论-理论基础ppt

发布时间:2019-05-28 12:07 来源:未知 编辑:admin

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  定义2-1 模糊集合(fuzzy sets) 论域U中的模糊集F用一个在区间[0,1]上取值的隶属 函数μF来表示, 即 μF : U→[0,1] μF(u)=1, 表示u完全属于F μF(u)=0, 表示u完全不属于F 0μF(u)1, 表示u部分属于F 例2-7 设有七种物品,苹果、乒乓球、书、篮球、花、 桃、菱形组成的一个论域U,并设 分别表 示这些物品,则论域 。求物品两两之间的相似程度的模糊关系。 例2-8 设U={1,2,3};V={1,2,3,4};μA(u)/u=1/1+0.7/2+0.2/3; μB(v)/v=0.8/1+0.6/2+0.4/3+0.2/4。求A和B的直积A×B。 模糊逻辑是一种模拟人思维的逻辑。 从广义角度,一切具有模糊性的语言都称为模糊语言。 在不同的场合,某一模糊概念可以代表不同的含义。 如:“高个子”,在中国大约为1.75-1.85 在欧洲大约为1.80-1.90 模糊语言逻辑:由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑 涉及概念: 语言值 语言变量 语言算子 定义2-16 语言值 在语言系统中,那些与数值有直接联系的词,如长、短、多、少、高、低、重、轻、大、小或者由它们再加上语言算子(如很、非常、较、偏等)而派生出来的词组,如不太大、非常高、偏重等都被称为语言值。 例如:成年男子身高的论域 E={130,140,150,160,170,180,190,200,210} ={e1,e2, …,e9} 在论域E上定义语言值 [个子高]=0.2/e4+0.4/e5+0.6/e6+0.8/e7+1/e8+1/e9 [个子矮]=1/e1+0.7/e2+0.5/e3+0.3/e4+0.1/e5 定义2-17 语言变量 语言变量是用一个五元素的集合(X,T(X),U,G,M)来表征的。其中: X是语言变量名; T(X)为语言变量X的项集合,即语言变量名的集合, 且每个值都是在U上定义的模糊数Fi; U为语言变量x的论域; G为产生x数值名的语言值规则,用于产生语言变量值;如隶属度函数确定规则等; M为与每个语言变量含义相联系的算法规则。 例2-12 以“年老”这个词为例,来说明语气算子的作用 求非常老,很老,比较老,有点老的隶属度函数。 削顶法图示 2.2模糊集合论基础 模糊集的概念 例2-2 设F表示远远大于0的实数集合,求F的隶属度函数。 解: 例:考虑论域U={0,1,2,…,10}和模糊集“接近于0的整数”。 扎德表示法: F=1.0/0+0.9/1+0.75/2+0.5/3+0.2/4+0.1/5 序偶表示法: F={(0,1),(1,0.9),(2,0.75),(3,0.5),(4,0.2),(5,0.1)} 向量表示法: F={1,0.9,0.75,0.5,0.2,0.1} 所谓正规模糊集合就是隶属度函数的最大值为1,且论域中至少有1个元素u的隶属度值为1。 用数学表达: 3 专家经验法 这种方法是工程实践中常用的一种方法. 一般来说,是根据专家的实际经验,对模糊信息 作出判断,给出它的隶属度函数值. 例如:炉温控制. 设定温度为20度,专家的经验判断, μ(21)=0.2,μ(23)=0.3,μ(30)=1 等 4 二元对比排序法 这种方法通过对多个事物之间的 两两对比来确定这些事物对某个特征的隶属函数。 我们主要介绍比较实用的相对比较法。 设ui相对于uk具有某种特征的程度为guk(ui), 设uk相对于ui具有某种特征的程度为gui(uk), 论域U中的元素u1, u2, … un, 一对元素(ui, uk), 作对比,(i, k=1,2, …, n) 令 设i=k时, g(ui/uk)=1. 那么可以得到一个相及矩阵 对G的每一行取最小值,即 gi=min[g(ui/u1), g(ui/u2),……,g(ui/un)] 于是可以得到u1,u2,…..,un对某特征的隶属函数. 例2-5: 设论域U=(u1,u2,u3,u0), u1=长子, u2=次子, u3=三子, u0=父亲. 考虑相似问题. 1 长子和次子与父亲相似来说, 设长子与父亲相似 的程度为0.8, 次子与父亲相似的程度为0.5 2次子和三子与父亲相似来说, 设次子与父亲相似 的程度为0.4, 三子与父亲相似的程度为0.7 3 长子和三子与父亲相似来说, 设长子与父亲相似 的程度为0.5, 三子与父亲相似的程度为0.3 按谁像父亲这个原则来排序,有 在上面的相及矩阵中,每行取最小值,得到 1 3/5 4/7 得到结论长子最像父亲(1),三子次之(0.6),次子最不像 父亲(0.57). 隶属函数的大体形状也就知道了 正规集合: 凸集合:在隶属度函数曲线上任意两点之间曲线上的任一点所表示的隶属度都大于或者等于两点隶属度中较小的一个。 * * 2. 模糊条件推理 如果 x 是 A,则 y 是 B,否则 y 是 C。 其逻辑表达式为: 模糊关系R: 隶属度函数: 推理结论 例2-15 一个系统,当输入为A时,输出为B,否则输出C。已知 A=1/x1 + 0.4/x2 + 0.1/x3 B=0.8/y1 + 0.5/y2 + 0.2/y3 C=0.5/y1 + 0.6/y2 + 0.7/y3 问题: 当输入 A= 0.2/x1 + 1/x2 + 0.4/x3 时,输出D? 3. 多输入模糊推理 前提1: 如果 A 且 B , 那么 C 前提2: 现在是A'且B' 结论: 基于玛达尼推理,则模糊关系矩阵为: 离散条件下模糊推理过程也可以用模糊关系矩阵的运算表述: 比如: 已知 IF A and B then C 那么,当 A‘ and B’ 时 C’=? 1.先求D=AXB, 令 得到 2.将D写成列矢量DT 3.求关系矩阵R R=DT X C 4.由 A’ 和 B’ 求出 D’ D’=A’ X B’ 5将D’ 也写成 DT’ 6.最后得到所求的 C’ C’=DT’ ?R 例2-16 已知 、 时, 问 、 时, 解 推理简化(削顶法 ) 推理形式可等价为 可得隶属度关系如下: α是指模糊集合A与A'交集的高度。 4. 多输入多规则推理 如果 A1 且 B1 , 那么 C1 否则如果 A2 且 B2 , 那么 C2 : 否则如果 An 且 Bn , 那么 Cn 已知 A ' 且 B ' , 那么 C '=? 在这里, An 和 A'、 Bn 和 B ' 、 Cn 和 C '分别是不同论域X、Y、Z上的模糊集合。 推理方法 推理结果可表示为 其中 推理过程图示 2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 2.3.1 二值逻辑 2.3.2 模糊逻辑的基本运算 2.3.3 模糊语言逻辑 2.3.4 模糊逻辑推理 2.3.5 模糊关系方程的解 模糊关系方程 与传统的控制系统设计相对应的模糊系统设计也存在系统的建模和控制问题,对于有限域上的模糊关系R可以用模糊矩阵来表示,则模糊控制系统的建模和控制问题就转化为模糊关系方程的求解问题了。 建模辨识问题:已知给定的A和B,求关系矩阵R。 系统控制问题:已知需控制的目标B和关系矩阵R,求控制输入A。 模糊关系方程 已知A和B,有以下关系: 求关系矩阵R; A∈F(U×V)、B∈F(U×W)、 R∈F(V×W),分别为笛卡尔空间 U×V、U×W、V×W 上的模糊关系矩阵 ,有 A=(aij)m×n 、B=(Bij)m×s 、R=(rij)n×s, 问题分解 用分块矩阵的形式表示,有 其中, 则原问题可化为s个简单的模糊矩阵方程: 问题的分解 考察 设合成算子 取 ,需要考虑以下问题: 问题的分解 具体有以下两类问题: 等式问题: (ai1∧r1)=bi , (ai2∧r2)=bi , ... , (ain∧rn)=bi , 不等式问题: (ai1∧r1)??bi , (ai2∧r2) ?bi , ... , (ain∧rn) ?bi 分解问题的求解 a∧r=b 的解 a∧r≤b 的解 解的综合 设第k个方程等式成立,则一个部分解为: W[k]=[(r1),(r2)...,[rk],...(rn)] 其中 [rk] 表示第k个等式方程的解; (ri) 表示第i个不等式方程的解, i≠k 。 则分解问题的全部解为: Rji=W[1]∪W[2]∪... ∪W[n] 最终解为m个全部解的交集。 Rj= Rj1? Rj2? ? Rjm 例2-18 已知模糊关系方程 (0.5∧r1)∨(0.4∧r2)∨(0.8∧r3)=0.5 求 模糊关系方程解 步骤1 化为三个一元一次等式方程 : (0.5∧r1)=0.5 ,(0.4∧r2)=0.5 ,(0.8∧r3)=0.5 和三个一元一次不等式: (0.5∧r1)≤0.5 , (0.4∧r2)≤0.5 ,(0.8∧r3)≤0.5 等式方程的解为: [r1]=[0.5,1], [r2]=[?? ], [r3]=0.5, 不等式方程的解为: (r1)=[0,1], (r2)=[0,1], (r3)=[0, 0.5], 步骤2 因此,此模糊方程的部分解分别为: R1=([r1],(r2),(r3)) =([0.5,1],[0,1], [0,0.5]) R2=((r1),[r2],(r3)) =([0,1],[?], [0,0.5])=[Φ], R3=((r1),(r2),[r3]) =([0,1],[0,1], 0.5) 所以,R=R1∪R3 =([0.5,1],[0,1],[0,0.5])∪([0,1],[0, 1],0.5) 其它类型的模糊方程 已知需控制的目标B和关系矩阵R,求控制输入A。 可作如下变形获得: 例2-19 P52 经典集合(非此即彼) :一般指具有某种属性的、确定的、彼此间可以区别的事物的全体。 基本集合或论域(U):把所考虑的对象限制在一个特定的集合,比如一个班级、自然数等。 U的子集A:U中的一部分 U中的元素u:U中的对象 U的基数( 或#U):有限集合U所含的不同元素的数目。 无限集合:不是有限集合的集合。 可以算出μF(5)=0.2, μF(10)=0.5, μF(20)=0.8 几种确定隶属度函数的方法 1 模糊统计法 对论域上的一个元素u是否属于一个集合A作出判断. 比如对年轻人这个模糊集A.不同的人可能会有不同的划分,例如18-28岁, 20-30岁,20-35岁.那么22岁属于模糊集A的隶属频率为=3/3=1 这样就可以得到: 2 例证法 比如设全体人为论域U, 模糊集A表示高个 人, 例如高180, 175, 170, 165的人属于高个人这个 模糊集的程度用 “真的” “大致真的” “似真似假” “大致假的” “假的”五种语言值来判断. 分别用 1, 0.75, 0.5, 0.25, 0来表示.那么有 例2-11: P=她是个刁蛮的人,其线 Q=她是个泼辣的人,其线 那么 P ∧ Q =min(P, Q)=min(0.8 , 0.6)=0.6 那么 P ∨ Q =max(P, Q)=max(0.8 , 0.6)=0.8 那么 P → Q =(1-P+ Q) ∧ 1= (1-0.8+0.6) ∧ 1=0.8 幂等律 交换律 结合律 吸收律 P∨P=P, P∧P=P P∨Q=Q∨P, P∧Q=Q∧P P∨(Q∨R)=(P∨Q)∨R, P∧(Q∧R)=(P∧Q)∧R P∨(P∧Q)=P, P∧(P∨Q)=P 分配律 P∨(Q∧R)=(P∨Q)∧(P∨R), P∧(Q∨R)=(P∧Q)∨(P∧R) 基本定律1 双否律 德摩根律 常数运算法则 注意 互补律在模糊逻辑中不成立 基本定律2 2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 2.3.1 二值逻辑 2.3.2 模糊逻辑的基本运算 2.3.3 模糊语言逻辑 2.3.4 模糊逻辑推理 2.3.5 模糊关系方程的解 模糊语言逻辑 模糊语言逻辑 定义2-15 模糊数 连续论域U中的模糊数F是一个U上的正规凸模糊集。 即,以实数集合为全集合,一个具有连续隶属度函数的正规有界凸模糊集合就称为模糊数。 模糊数就是那些诸如“大约5”、“10左右”等具有模糊概念 的数值 语言值 语言变量 语言变量 用一个五元素的集合(X,T(X),U,G,M)来表征 。 语言算子 语气算子 模糊化算子 判定化算子 为了对模糊的自然语言形式化和定量化,进一步区分和刻画模糊值的程度,常常还借用自然语言中的修饰词,诸如“较”、“很”、“非常”、“稍微”、“大约”、“有点”等来描述模糊值。 语气算子 表示语言中对某一个单词或词组的确定性程度。 包括强化算子和淡化算子 集中化算子或强化算子,如“很”、“非常”等 松散化算子或淡化算子,如“较”、“稍微”等 Hλ(A)=Aλ (A为语言值) 常用的语气算子定义如下: “极” ;“非常” ;“很” ;“相当” “比较” ;“略” ;“稍” ;“有点” 如“大概”、“近似于”、“大约”等。把原来的概念模糊化。 记模糊化算子为F。则模糊化变换可表示为F(A),并且它们的隶属度函数关系满足: 其中,μR(x,c)是表示模糊程度的一个相似变换函数,通常可取正态分布曲线,即: 模糊化算子 判定化算子 肯定化处理,例如“倾向于”、“大半是”等。 记判定化算子为P,则判定化变换可表示为P(A),并且它们的隶属度函数关系满足: 当取α=1/2时,P1/2可用来表示“倾向于”。 2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 2.3.1 二值逻辑 2.3.2 模糊逻辑的基本运算 2.3.3 模糊语言逻辑 2.3.4 模糊逻辑推理 2.3.5 模糊关系方程的解 模糊逻辑推理 不确定性推理方法的一种 方法还在发展之中,比较典型的有扎德(Zadeh)方法、玛达尼(Mamdani)方法、鲍德温(Baldwin)方法、耶格(Yager)方法、楚卡莫托(Tsukamoto)方法。 最常用的是玛达尼极大极小推理法。 扎德推理法 玛达尼推理法 常见种类 近似推理(常识性推理) 广义肯定式推理 广义否定式推理 模糊条件推理 多输入推理 多输入多规则推理 1. 近似推理:广义肯定式推理 前提1: 如果 x 是 A,则 y 是 B 前提2: 如果 x 是 A', 结论: y是 隶属度函数的计算 模糊关系矩阵R的计算 采用Mamdani推理法 模糊蕴含最小运算法 模糊蕴含积运算法 广义否定式推理 前提1: 如果 x 是 A,则 y 是 B 前提2: 如果 y 是 B', 结论: x 是 隶属度函数的计算 其中: (Zadeh推理法) 例 2-14 考虑如下逻辑条件语句: 如果 “转角误差远远大于15°”,那么 “快速减少方向角” ;其隶属度函数定义为: A=转角误差远远大于15° =0/15+0.2/17.5+0.5/20+0.8/22.5+1/25 B=快速减少方向角 =1/-20+0.8/-15+0.4/-10+0.1/-5+0/0。 求: 当A'=转角误差大约在20°时,方向角应该怎样变化? 步骤1 定义 A'=转角误差大约在20°的隶属度函数 = 0.1/15+0.6/17.5+1/20+0.6/22.5+0.1/25 则问题化为 已知 μA(x)=[0,0.2,0.5,0.8,1], μB(y)=[1,0.8,0.4,0.1,0] 当 μA'(x)=[0.1,0.6,1,0.6,0.1]时, 求解B'。 步骤2 由玛达尼(Mamdani)推理法计算出关系矩阵: 步骤3 计算 代数积算子 直积算子 代数积算子 直积算子 问题:如何比较两种算子? 论域X=Y={ 1,2,3,4,5 } , 在X和Y上有三个模糊子集 “大”、 “小”、”较小“,分别如下: “大”=0.4/3 + 0.7/4 + 1/5 “小“=1/1 + 0.7/2 + 0.3/3 “较小”=1/1 + 0.6/2 + 0.4/3 + 0.2/4 规则为若x小,则y大, 那么当x=较小时,y=? 练习 小→大的关系矩阵R 隶属度函数的常见形状3 Π函数 隶属度函数的设计原则1 必须是凸模糊集合(呈单峰形) 通常是对称和平衡的 要遵从语意顺序、避免不恰当的重叠 隶属度函数的设计原则2 考虑重叠指数(一般取重叠率为0.2~0.6、或鲁棒重叠性0.3-0.7) 举例 重叠率=0 重叠鲁棒性=0 重叠率=5/35=0.143 重叠鲁棒性=2.5/10=0.25 重叠率=10/33=0.333 重叠鲁棒性=10/20=0.5 设计方法 模糊统计法 例证法 专家经验法 二元对比排序法 2.2 模糊集合论基础 2.2.1 模糊集概念 2.2.2 模糊集合运算 2.2.3 模糊集合运算的基本性质 2.2.4 隶属度函数的建立 2.2.5 模糊关系 模糊关系 普通关系:表示元素之间是否关联。 模糊关系 :表示两个论域模糊集合之间的关联程度,用其直积空间的隶属度函数表示。 定义:所谓A,B两集合的直积 中的一个模糊关系R,是指以A×B为论域的一个模糊子集,序偶(a,b)的隶属度为μR(a,b)。 多元关系 二元关系 多元关系:考察n个集合的直积 A1×A2... ×An , 其隶属度函数为: μR(a1,a2,...,an) 模糊集合表示法 举例 考查两个整数间的“大得多”的关系。设论域 U={1,5,7,9,20}。 模糊关系的表示方法1 模糊关系的表示方法2 模糊矩阵表示法 (适用于二元关系) 其中 解 假设物品间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”,其余按具体相似程度给出一个0~1之间的数,就可确定出一个U上的模糊关系R。 1 0 0 0 0.1 0 0 菱形x7 0 1.0 0.4 0.5 0 0.5 0.6 桃x6 0 0.4 1.0 0.4 0 0.4 0.5 花x5 0 0.5 0.4 1.0 0 0.9 0.7 篮球x4 0.1 0 0 0 1.0 0 0 书x3 0 0.5 0.4 0.9 0 1.0 0.7 乒乓球x2 0 0.6 0.5 0.7 0 0.7 1.0 苹果x1 菱形x7 桃x6 花x5 篮球x4 书x3 乒乓球x2 苹果x1 R 笛卡尔积算子(??算子) A1,A2,... ,An的笛卡尔积是在积空间U1×U2×...×Un中的一个模糊集,其隶属度函数为: 直积(极小算子)用 μmin 表示 代数积 :用 μAP 表示 解: A×B=0.8/(1,1)+0.6/(1,2)+0.4/(1,3)+0.2/(1,4) +0.7/(2,1)+0.6/(2,2)+0.4/(2,3)+0.2/(2,4) +0.2/(3,1)+0.2/(3,2)+0.2/(3,3)+0.2/(3,4) 也可以使用模糊矩阵R来表示: 0.2 0.2 0.2 0.2 3 0.2 0.4 0.6 0.7 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 4 3 2 1 u v 例2-9 考虑如下模糊条件语句 如果 C 是慢的,则 A 是快的。 其中 C ,A分别属于两个不同的论域U,V。其隶属度函数分别为: A=快= 0/0 + 0/20 + 0.3/40 + 0.7/60 + 1/80 + 1/100; C=慢= 1/0 + 0.7/20 + 0.3/40 + 0/60 + 0/80 + 0/100。 求 它们的直积和代数积。 直积 代数积 模糊关系的合成 背景: 已知:IF A THEN B,IF B THEN C 求: IF A THEN C 定义:如果R和S分别为笛卡尔空间U×V和V×W上的模糊关系,则R和S的合成是定义在笛卡尔空间U×V×W上的模糊关系,并记为 RoS。其隶属度函数的计算方法有两种。 模糊关系的合成的隶属度函数计算 上确界(Sup) 算子 下确界(Inf) 算子: 例2-10 已知某家中子女与父母的长像相似关系R: 父母与祖父母的相似关系S: 求:家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度。 R 父 母 子 0.2 0.8 女 0.6 0.1 S 祖父 祖母 父 0.5 0.7 母 0.1 0 解 合成算子Sup-min的特性1 分配率 结合律 包含 转置运算 不满足交换律 合成算子Sup-min的特性2 目录 2.1 引言 2.2 模糊集合论基础 2.4 模糊控制系统的组成 2.5 模糊控制系统的设计 2.6 模糊PID控制器 2.7 模糊控制器的应用 2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 模糊逻辑 模糊逻辑是研究含有模糊概念或带有模糊性的陈述句的逻辑。 是不确定性推理的主要方法之一 。 是经典数理逻辑的推广。 2.3.1 二值逻辑 2.3.2 模糊逻辑的基本运算 2.3.3 模糊语言逻辑 2.3.4 模糊逻辑推理 2.3.5 模糊关系方程的解 2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 二值逻辑 对一句话,如果能够判断它表述的意思是真是假时,就可以称为命题。 一个简单的语句叫简单命题,用命题联结词把两个以上的简单命题联结起来叫复合命题。 名称 符号 意义 析取 “∨” “或”的意思 合取 “∧” “与”的意思 否定 “-” 是对原命题的否定 蕴涵 “→” 表示“如果...那么...” 等价 “??” 表示两个命题的真假相同,是“当且仅当”的意思 命题联结词 2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 2.3.1 二值逻辑 2.3.2 模糊逻辑的基本运算 2.3.3 模糊语言逻辑 2.3.4 模糊逻辑推理 2.3.5 模糊关系方程的解 模糊命题 模糊命题是普通命题的推广。 模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”,而是反映其以多大程度隶属于“真”。 所以真值的运算也就是隶属度函数的运算。 模糊逻辑补 用来表示对某个命题的否定., 模糊逻辑合取 模糊逻辑析取 基本运算1 模糊逻辑蕴含 如P是真的,则Q也是真的, 模糊逻辑等价 模糊逻辑限界积 各元素分别相加,大于1的部分作为限界积。 基本运算2 模糊逻辑限界和 模糊逻辑限界差 各元素分别相加,比1小的部分作为限界和。 各元素分别相减部分作为限界差。 基本运算3 第2章 模糊控制论-理论基础 智能控制基础 目录 2.1 引言 2.2 模糊集合论基础 2.4 模糊控制系统的组成 2.5 模糊控制系统的设计 2.6 模糊PID控制器 2.7 模糊控制器的应用 2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 模糊控制的发展历史 1965年,L.A.Zadeh 提出模糊集理论; 1972年,L.A.Zadeh 提出模糊控制原理; 1974年,E.H.Mamdani应用于蒸汽机和锅炉控制中; 80年代:污水处理、汽车、交通管理 模糊芯片、模糊控制的硬件系统; 90年代:家电、机器人、地铁; 21世纪:更为广泛的应用。 模糊控制的特点 无需知道被控对象的数学模型 与人类思维的特点一致 模糊性 经验性 构造容易 鲁棒性好 主要内容 模糊控制的理论基础 模糊集合论基础 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 模糊控制系统 模糊控制系统的组成 模糊控制系统的设计 模糊PID控制器 模糊控制器的应用 目录 2.1 引言 2.2 模糊集合论基础 2.4 模糊控制系统的组成 2.5 模糊控制系统的设计 2.6 模糊PID控制器 2.7 模糊控制器的应用 2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 2.2 模糊集合论基础 2.2.1 模糊集概念 2.2.2 模糊集合运算 2.2.3 模糊集合运算的基本性质 2.2.4 隶属度函数的建立 2.2.5 模糊关系 经典集合 19世纪末德国数学家 乔?康托(Georage Contor,1845-1918),是现代数学的基础。 内涵和外延都必须是明确的 经典集合论 表示方法 特点 列举法 定义法 归纳法 特征函数法 表示方法 列举法:U={1,2,3,4,5,6,7, 8,9,10} 归纳法:U={ui+1=ui+1,i=1,2,??9,u1=1} 特征函数法 定义法:U={uu为自然数且u5} 表示方法 特征函数法 用特征函数值表示元素属于集合的程度 隶属度函数 将特征函数值扩展为[0,1]上取值的隶属度μF (Degree of Membership),描述思维和语言的模糊性。 以人对室温(0-40℃)的感觉为例: 大部分人:15-25℃----舒适 15℃以下----冷 25℃以上----热 按照经典集合论,14.9 ℃也为冷,不符合人的感觉。 而我们可以认为14.9 ℃属于冷的程度为0.1,1 ℃属于冷的程度为0.95. 模糊集合(Fuzzy Sets) 模糊集合(Fuzzy Sets) 1 F={( u,μF(u))u∈U} (离散域,序偶表示法) (查德表示法 ) (连续域) F={μ(u1),… ,μ(un)} (向量表示法 ) 支集(Support) 模糊集合F的支集S是一个普通集合,它是由论域U中满足μF(u)0的所有u组成的,即 模糊单点(Singleton) 如果模糊集合F的子集在论域U上只包含一个点u0,且μF(u0)=1,则F就称为模糊单点。即 2.2 模糊集合论基础 2.2.1 模糊集概念 2.2.2 模糊集合运算 2.2.3 模糊集合运算的基本性质 2.2.4 隶属度函数的建立 2.2.5 模糊关系 2.2.2 模糊集合的运算 考察具有公共论域U的模糊集合A、B之间的各种运算关系,包括以下内容: 相等、包含 空集、全集 交、并、补 其他 相等、包含 空集、全集 对于所有的u∈U ,均有μA(u)=μB(u)。 记作A=B。 相等 对于所有的u∈U ,均有μA (u) ≤μB(u)。 记作A?B。 包含 对于所有的u∈U ,均有μA(u) =0 。 记作:A=?? 。 空集 对于所有的u∈U ,均有μA(u) =1。 全集 交、并、补 如果模糊集合C具有以下性质: 对于所有的u∈U ,均有 μC(u)=μA∧μB=min{μA(u),μB(u)} 则称C为A与B的交集,记为 C=A∩B 交集 对于所有的u∈U ,均有 μC(u)=μA∨μB=max{μA(u),μB(u)} 。 则称C为A与B的并集,记为 C=A∪B。 并集 对于所有的u∈U ,均有 μB(u)=1-μA(u) 则称B为A的补集,记作 补集 举例 已知模糊子集 求 求解 代数积 代数和 有界和 有界差 有界积 其它运算 2.2 模糊集合论基础 2.2.1 模糊集概念 2.2.2 模糊集合运算 2.2.3 模糊集合运算的基本性质 2.2.4 隶属度函数的建立 2.2.5 模糊关系 幂等律 结合律 交换律 分配律 模糊集合运算的基本性质1 同一律 零一律 吸收律 德·摩根律 双重否认律 模糊集合运算的基本性质2 与经典集合性质的比较 基本性质完全相同 模糊集运算不满足互补律 2.2 模糊集合论基础 2.2.1 模糊集概念 2.2.2 模糊集合运算 2.2.3 模糊集合运算的基本性质 2.2.4 隶属度函数的建立 2.2.5 模糊关系 是一个关键问题 是一个难题 具有“模糊性”、经验性 和主观性 无统一的设计方法 具有客观的原则 隶属度函数的建立 隶属度函数的常见形状1 Z函数 隶属度函数的常见形状2 S函数

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