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立体几何教学设计的新探索-学科教学·数学专业论文docx

发布时间:2019-06-25 08:18 来源:未知 编辑:admin

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  摘要几何学作为数学的一个分支,本身具有丰富的内容和方法,渗透了许多现代 摘要 几何学作为数学的一个分支,本身具有丰富的内容和方法,渗透了许多现代 数学的思想、方法,学习它有助于培养学生形象、逻辑、归纳、似真推理等多种 思维能力。作为几何学体系中的重要组成成员立体几何在高中数学中以及高考中 占有不小的比例,一直是教育者比较关注的话题。笔者与同事选择《高中数学新 教材(人教试验版)》和《立体几何》(全一册·必修)进行对比研究,联系笔 者所在学校的实际情况,设计并探索实验了一套新的教学方案,并相应提出了一 个基本通用的‘立体几何问题的求解模式’。在新的教学体系下就这个教学方案 的必要性和可能性、教材内容的呈现方式、教学的组织实旌方式展开讨论。全文 共分四部分。第一部分说明了问题的缘起和研究的意义:当前正值数学教育迅速 发展之际,因此有必要对立体几何课程的设置重新审视、探寻新径,以推进数学 教育改革,适应2l世纪的需要和挑战。第二部分就设计的需要对教材、学生和 授课教师进行了详细的前期分析,为教学设计提供了一个基础。第三部分是具体 的教学设计方案,就现行高中立体几何教学内容进行重组与调整,根据具体的学 生情况,设计了全部立体几何教学内容的具体教学方案,并提出了一个‘立体几 何问题的求解模式’。文章的最后通过对本次教学探索的总结,提出了对当前进 行的数学教育教学改革个人的几点不太成熟的意见与建议。 关键词:立体几何、解题模式、教学设计、教学体系 Ⅱ AbstractLearning Abstract Learning geometry,a branch of mathematics,concerning the mathematical methods,contributes a lot to training the students’comprehensive ability such as configuration,logic,analysis and plausible reasoning.As a significant member ofthe gcometry system,solid geometry,on which the educators focus a great deal of attention,holds an important position in the mathematics teaching in senior hi曲as well as in college entrance examination.We did some research on the comparison of the two text books-Senior High Mathematics(the newly published editionl and&埔口 Geometry.As a result,we worked out a series of new teaching plan,plus a problem solving model m the areas ofsolid geometry.At the salne time,we also discussed the necessity and the feasibility of those teaching plans ill resped of the display of the contents and the organization and application of the plans within the new teaching system.The article goes into four parts.Part 1 mainly deals with the beginning ofthe problem as well船the influence of this research:it is necessary to look at the solid geometry lessons ill a new prospect and seek new approaches to promote the reform of the education and meet the challenge in the 21st century.Part 2 provides closer look at the basis of those teaching designs懿a result of our previous analysis about the text book,students as well as the teachars.Part3 illustrates the specific teaching and learning procedures witll our efforts to reorganize and rearrange the contents of the solid geometry;it also provides the readers with a problem solving model.Finally, the article goes to a conclusion and gives some personal suggestions about the reform ofthe math teaching. Key words: solid geometry a problem solving model teaching and learning plans teaching system III 独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方 外,论文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为 获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 签名: 醐:也弓地 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定,即: 学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以 公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。 (保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名: 牛 导师签名: 筮避 日期:z堕2垄! 塞笪些塑墼堂望生塑堑堡室第一部分导论 塞笪些塑墼堂望生塑堑堡室 第一部分导论 §1、1问题的提出 几何学作为数学的一个分支,本身具有丰富的内容和方法,渗透了许多现代数学 的思想、方法,有助于培养学生形象、逻辑、归纳、似真推理等多种思维能力。几何 课程尤其是立体几何课程(主要指的是平面几何课程,而并非立体几何课程),近一 个世纪以来一直颇受争议,对于立体几何课程的开设是否有其必要性,众多数学家、 教育家和学者对此也是褒贬不一;我国数学教育家、中科院院士吴文俊教授认为,“中 小学数学教育的现代化是指机械化,而欧几里得体系排除了数量关系,纯粹在形式问 经过公理、定理来进行逻辑推理,或者把数量关系归之于空间形式,这是非机械化的。 尽管欧氏几何漂亮的定理有的是,漂亮的证明也有的是,但是你跑不远,更不能腾飞。 当几何‘现代化’后,这些东西变得平平淡淡的,大家都可以做了,而且还可以腾飞。 于是中学应该赶快离开欧几里得,欧氏几何让位于解析几何。”o这种观点颇有影响, 引起不同层次的数学教育人士的强烈反响。黄克明先生提出,“初中学生宜学平面解 析几何,高中学生能学空间解析几何,因此分别代替传统的初中平面几何和高中立体 几何,丽原欧氏几何移至数学专业的大一去学习”。o但这一观点缺乏理论分析和实 验论证。对此。王申怀(北京师范大学数学系教授)有不同的看法。他认为,欧氏几 何与解析几何的最大区别在于对几何图形研究所采取的方法不同。而这种方法可以互 相补充,互相协调,它们对学生的数学思想方法、数学思维的训练作用并非完全相同。 因此,欧氏几何让位于解析几何的行为要慎重考虑。他强调,“正如吴先生所说‘对 于几何、对于研究空间形式,你要真正腾飞,不通过数量关系,我想不出什么好办法。’ 即讲机械化、定量化当然要用到代数,但这并不是用代数替代几何,而相反代数的发 展也需要几何。因为数学中两大研究对象‘数’和‘形’的矛盾统一是数学发展的内 在因素”。固此外,还有些专家、学者持肯定观点,但对立体几何课程如何设置仍各 抒己见:齐民友(武汉大学数学系教授)认为,“在高中立体几何讲一点实验几何就 行了。”并且“可以将实验几何和推理几何分开,有的定理不需证明”:李忠(北京 大学数学系教授):“立体几何不要搞系统的逻辑证明”;严士健(北京师范大学数 学系教授)“高中可以用向量的方法处理立体几何”。固此外,世界各国(立体)几 何课程的开设也呈现多样化: o吴文俊,数学教育现代化问题,数学通报,1995(2)封2—4 。黄克明,用现代数学意识推进中学数学教育现代化.数学教育学报,1995(2)$8--61 @游安军,近20年我国平面几何教学研究的问艇与思考,数学教育学报,2000(3)29—30 回国家数学课程标准研制工作研讨舍会议资料.国家数学课程标准研制工作小组.1999(10)103-105 1 一—— 垩堡!!堡墼兰堡笪塑塾篓茎 美国:没有综合法的几何学。但有向量矩阵表示的变换几何; 英国:没有综合法的立体几何。用恕量方法处理线面关系; 法国:少量的综合平面几何。用向量方法处理立体几何。重视图形变换及其矩 阵表示; 德国:内容非常艰深,超过我国大学的“高等数学”。但只有不多的向量几何。 重视变换几何。 日本:高中没有平面几何选修。高三选修中有少量的向量几何; 俄国:所有国家中综合几何要求最高。6个国家中唯一列有“三垂线定理”。 同时要求向量几何、变换几何。 究竟中学要不要开设立体几何课程?从几何的自然价值可知,立体几何,可 以说是由人类群体最原始的生活经验孕育而生。而课程应给学生呈现人类群体的生活 经验,并使之纳入学生的生活世界中加以组织,进入学生的“生活经验”和“履历情 境”。@鉴于此,笔者认为,立体几何课程开设的必要性不言而喻。而闯题的关键是 开设什么样的立体几何课程,以及怎么开设和怎样进行教学。课程是教育体系中的核 心要素,是实现教育目标的手段。课程设计、编制的好坏,决定着教育质量的高低, 决定着教育目标能否实现,在当前数学教育改革不断走向深入之际,有必要对立体几 何课程的教学设计问题进行重新审视、探寻新径,以推进立体几何教学能够取得更大 实效,为此,我选取立体几何教学设计为研究重点,基于自己的实际教学岗位,与我 校师生一起共同探索立体几何教学设计的新途径。通过总结以往的教学中的不足之 处,结合人教版的新教材设计一套适合我们学校的具体方案。 §l、2目标的确立 高考数学一直是教育界备受关注的一个热点,相关的研究也很多,其中立体几何 阀题一直是一个令教育者很头疼的问题。每年立体几何在高考中占着不小的比例,虽 然教师在讲解这部分内容时花费了不少精力,而且近几年试题的难度也在不断降低, 但是学生对立体几何的畏惧却始终存在,在高考中立体几何问题仍是大多学生的薄弱 环节。以2002年全国普通高等学校统一招生考试(文史类)(22)为例,通过抽样 调查,数据如下: (总共抽样27袋,统计考生人数800人。此题总分12+4。) 分 值 0 1 2 3 4 5 得分人数 543 3l 8 45 1 38 21 分 值 6 7 8 总分 均分 得分人数 9 3 2 950 1.2 。郭元样,谭程观的转向,课程·教材·教}去,2001“)14 立体几何教学设计的新探索注:统计的考生中9分以上者无一人。 立体几何教学设计的新探索 注:统计的考生中9分以上者无一人。 反思我们的教学方法可能能对学生为什么成绩如此之差作出一种合理的解释。一 味的死讲硬讲该到反思的时候了,不把学习的主动权交给学生永远不是成功的教学。 800考生中竟有约68%的考生得了0分,足以说明我们教学中存在的问题是不容忽视 的。这些都促使我们不得不对我们的教学产生反思,到底为什么我们的学生会放弃不 算难题的立体几何问题呢?是否需要改变一下我们长期一直遵循的教学模式呢?每 一位数学教师,无论他教大学生、中学生、小学生,甚至是幼儿园的小朋友,都会非 常关注如何“教”数学的问题。因为教不好就等于“误人子弟”,这是任何一位老 师都害怕得到的职业评价! 这几年我在教学过程中也不断反思,至Ⅱ底如何展开教学才能扭转这一现象?一直 困扰自己的主要是三个问题:1)如何才能帮助学生消除对立体几何问题的畏惧心理, 提高他们的学习兴趣?2)造成学生畏惧甚至放弃立体几何学习的主要问题是空间想 象力的缺乏,那么如何才能帮助学生建立初步的空间想象能力,从而提高处理、分析、 解决空间事物的能力?3)通过何种方式的教学才能更好的使学生掌握立体几何呢? 2002年我校开始使用《高中数学新教材(人教试验版)》,在这套教材中,立 体几何的有关内容被放到了高二下学期,同时将向量的内积等知识引入了立体几何阃 题的证明与求解当中,还将学生的学习内容与社会生活紧密联系,使课堂教学自然地 延伸到了社会、生产、生活和科技等现实领域,新颖的学习内容令人耳目一新。但是, 正如R.R.斯根普所说“改革的结果不一定比以前更好,引入新的课程并不能保证学 生能更加理解数学,如果老师还是按照旧的、不合理的方法进行教学,那一切等于 零。”@既然教学改革已在全国全面铺开,我们也不能等待被时代所淘汰,于是我校 教研室根据自身条件也进行了相应的探索。经过多次磋商,我们初步确定的研究目标 是;设计一套适合我校实际情况的教学方案。此方案在保证现行教材的教学内容完成 的基础上,达到逐步消除学生对立体几何的畏难情绪、树立自信心、提高学习兴趣、 建立初步的空间想象能力和解决相应生活实际问题的能力。 我们仔细的研究和讨论了立体几何的作用和实际教学情况,参考了许多教育教学 理论书籍中对教学设计的要求,计划先通过一系列的活动培养学生对空间图形的折 叠、展开、旋转以及空间图形的认识,提高他们对立体几何的兴趣,然后进行结构化 的公理体系教学,在框架的指引下扩充学生的知识结构。尝试利用向量运算代替繁杂 的数学推理,进而促进学生空间思维能力的发展水平。在教学中加大对基本理论体系 R斯根普,数学学习心理学,林兑堆辞译,台北:九章出版杜.1992 3 立体几何教学设计的新探索盼学习力度,淡化影响学生兴趣的相关内容,强化立体几何解题模式的训练,从而淡 立体几何教学设计的新探索 盼学习力度,淡化影响学生兴趣的相关内容,强化立体几何解题模式的训练,从而淡 化空间图形对学生学习立体几何的负面影响。 §1、3研究的意义 进行立体几何教学设计研究需要丰富的教育教学理论作指导,为此根据需要,本 人阅读了许多国内外知名教育家的论著,强化自己的理论修养,以求能站到一个新的 高度,对立体几何教学的目标、内容、重难点等问题能够基于我校学生的实际进行设 计与实施。通过研究教材,自己也较深刻的理解了教材体系安排的意图,掌握了教材 内容之间的内在联系,从而在教学上更进了一步,由于自己对知识的更深一层的掌握, 在授课过程中能更好的把握学生的心理和学生的学习状态,也正因为如此,学生也越 来越喜爱我所教授的数学课。也正是因为学生喜爱我所教授的数学课,他们学习数学 的热情被极大的调动起来,学习成绩也开始迅速提高,现在反思近十年来的教学,去 年毕业的学生也许是所教学生中最喜爱数学的一届,这大概和我们所做的研究有很大 的关系! 由于我们在教学中安排了许多培养学生兴趣的手段,例如折纸、做模型、搞数学 建模体验等,学生在空间图形的识别上已较以往学生有所提高,加上我们所提供的解 题模型是直接与点、线、面这些空问基本元素挂钩,对客观存在的具体事物不再依托 空间几何形态,直接以基本元素分析处理,从而进一步加强了逻辑思维与几何知识及 相关技能、经验的融合。在随后所做的一些测试中也有明显的结果验证我们的初步设 想。 本研究是在2002“2004年间进行的,当时正是我国起草、形成普通高中数学课程 标准的时候,本研究虽然不尽完善,但其结果表明,这种探索的可行性和学生对立体 几何畏惧心理的减少,可以看到我们所做的研究的可贵之处,虽然不能以绝对权威的 证据说明我们工作的意义,但是我想本研究还是可以给广大的教育工作者提供一个案 例。虽然我们只是选取了高中数学一个很小的环节进行研究,但研究的结果应该对其 他部分内容的教学能给一定的启发,其他教育工作者完全可以类似的进行相仿的工作 或进行更深入的研究,从而将我国的普高教育进一步发展提高,真正的将我国数学教 育的改革落到实处,真正提高我国高中学生的数学素质和数学品质。 第二部分教学设计的前期分析 在进行数学教学的设计之初,必须先了解情况,进行调查分析,这是非常重要的。 通过分析可以有的放矢地制定数学教学目标、选择数学教学策略、设计数学教学活动 从而提高数学教学的质量。 §2、1 教材的分析 4 塞堡!!堡塾堂塑盐丝堑堡室 塞堡!!堡塾堂塑盐丝堑堡室 数学教学内容是解决教师教什么和学生学什么的问题,它的主要依据是数学教 材。它体现着数学教学目标,制约着教学模式和策略的选择与运用,是检查数学教学 质量的重要标准。我们知道,数学教材在数学教学过程中有很重要的作用,为了提高 数学教学质量,数学教师必须对教材进行研究与分析、理解与掌握,这是数学教师的 基本功。我们研究探索的基本出发点是在新的教育改革和我校的实际情况的制约下所 做的,所以我们首要分析的是教材。我们首先对比了前后两版教材的内容上的变化, 包括课时量、教学内容、教学要求和例题习题的变化,并深入钻研教学大纲,深刻领 会新教材的编写意图和目的要求,掌握所要教授内容的深度与广度。o 新教材 旧教材 分四部分共计39课时 (1)空间的直线l课时) 分两部分共计59课时 (2】空阿向量(9课时) (1)直线课时) 内容安择及课时量 (3)夹角与距高(5课时) 小结与复习(3课时) (4)简单多面体与球(8课时) (2)多面体与旋转体(26课时) 另:研究性课题(3课时) 小结与复习(3课时) 小结与复习(3课时) 教学时长 半学期 一学年 减弱综合推理的训练,把教学重点 通过教材实倒抽象出概念,再进行 教学要求 转移到用向量代数方法解决立体 推理、判断得出定理,再由概念、 几何问题. 定理去解决实际问题. 从上面的比较可以发现:①教学内容没有太多的减少,反而有所增加;②课时量大大 减少,而且学生可以进行反省的时间也减少了;③教学要求有重大变化,从重推理训 练向重解决问题转化。研究主要结果如下: l、背景分析 中学数学是各国中学课程中相对比较统一的一门学科,但几何课程则是中学数 学中最不统一的一部分。在1980~1982年期间,由国际教育成就评价协会(IEA)发 起的第二次国际数学调查表明:代数和算术课程各国是基本统一的,但IEA国家(20 0我们选择的研究对象是: l、全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)‘数学,第二册(下B)及教学参考书.人民教育出版社中学数学室编著,2002, 2、高级中学救科书‘立体几何’(全一册·必佳)及教学参考书,人民教育出敝社数学室犏,19。8,5 3、2003高中同步学习导与练‘数学(高二·下)’,寇宗光主箱,2003年实验稿 5 立体几何教学设计的新探索个)的几何教学内容很少~致。几何内容虽存在一个公共的核心部分,但非常单薄, 立体几何教学设计的新探索 个)的几何教学内容很少~致。几何内容虽存在一个公共的核心部分,但非常单薄, 它几乎只涉及平面几何的最基础的知识和坐标的简单应用。至于空问想象力和一些立 体几何课程强调得就更少了。本世纪以来,特别是“新数”运动以后,统一的在中学 数学课程中处于核心地位的欧氏几何已不复存在,代之而起的是形形色色的几何:① 实验几何(是一种非演绎的几何,它摆脱了欧氏几何的那种环环相扣的逻辑体系和严 密抽象的演绎推理形式,以实验操作的方法和类比归纳的思想方式来建立空间和平面 的各种位置和数量关系,以创造活动为其主要教学形式,以空间观念和几何直观为其 主要教学目的)②变换几何(以克莱因的“爱尔朗根纲领”为理论基石,用群的概念 把各种几何学统一起来,其中与欧氏几何相应的是剐体运动群,长度和角度都是不变 量。)③现代几何(采用现代数学的基础工具如集合论、群论,利用现代的数学思想 方法如向量、线性变换、矩阵等来重新组织欧氏几何的理论结构,简化欧氏几何的公 理体系,使几何论证代数化。)④综合几何(以欧氏几何的逻辑结构为主要理论框架, 适当简化其公理体系,并以欧氏几何的综合方法为主要论证的演绎几何学。)中国以 前一直采用的就是综合几何模式组织教学,它有利有弊。从利处看,综合几何交给学 生初步的公理体系和组织科学理论的逻辑方法,使他们养成缜密思考的习惯、严谨精 确的语言和抽象概括的能力。从弊处看,这些又正是几何学习的主要困难所在。现在 我国正在进行课程改革,慢慢向现代几何靠拢,因为从现代数学和现代社会的发展趋 势看,几何代数化是不可避免的。计算机的广泛应用也反映了这种要求。 2、功能分析 立体几何这一部分的功能,可以从以下几个方面进行分析:①智力价值(培养 学生的空间想象能力,即是指学生对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能 力,是逻辑思维与几何知识及相关技能、经验的融合。)②思想教育价值(立体几何 是初中平面几何的进一步补充与扩展,学生通过学习可以使懂得一切事物都是有规律 的变化发展着的,有利于培养他们具有辩证唯物主义观点)③应用价值(立体几何在 生产、生活实际和科学技术中有广泛的应用,掌握立体几何知识可以解决许多实际问 题。) 3、结构分析 在现行新教材中,立体几何分四个阶段进行教学,其知识结构如下: 『l、平面的基本性质 12、空间的平行直拽与异面直拽 13、直线和平面平行与平面和平面平行 14、直线和平面垂直 业怦)hl“J职罕设计盯耕球索1、空间向量及其计算 业怦)hl“J职罕设计盯耕球索 1、空间向量及其计算 l 2、空间向量的坐标计算 第三部分;夹角与雁离 fl、直线和平面所戚的角与=面角 12、甩高 fl、棱柱与棱罐 {2、多面件歇拉定理的发现 13、球 在第一阶段通过简化了的欧氏几何公理体系,在学生的知识体系中形成一段逻 辑推理为主的空间形态的初步印象;然后在第二部分中借助向量这一有力工具进一步 研究空间形态的相关性质;在第三部分中对前面的两种方式进行联系,通过对三个主 要问题的研究,进一步强化相关知识;最后在实际中寻求对所学知识的综合运用。 4、要素分析 (1)感性材料。课本中安排了许多插图介绍立体几何在生活实际中的应用(如 P:,例2等);安排了模型制作(如%图。一。等)和折纸(如Pls练习1等)调动学生 的学习兴趣;安排了一个阅读材料(P靶~船)和一个研究性课题(‰。)。 (2)数学概念。 ①两种特殊的位置关系——平行与垂直。平行的核心是线线平行,垂直的核心 是线面垂直。 ②三种常见的空间角度一异面直线所成的角、线面角与二面角。所有角度的 度量的核心都是向已知转化:包括构造平面角和借助向量转化两种方式。 ③四种常见的空间距离——点点距离、线线距离、点面距离、线面距离。距离 的度量其实也是转化的思想:要么转化为点点距离,通过常规思路求解;要么转化为 点面距离,通过体积转化求解。 (3)例题。新教材共安排例题31个。有14个是原来的教材上的,但是有8个 的求解方法已经变化,突出运用向量方法解决。另有17个是教学内容变更新加上的, 相对原来的教材比较,例题的量还不够,所以我们计划在教学实际中安排寇宗光主编 的《导与练(高二·下)》中部分例题进入课堂,以补充所需。 (4)习题。这一部分的练习题和习题共213个。前69个主要训练综合推理思 维,中间43个训练向量相关内容.其余为求解应用练习(可以选择多种方案进行求 解)。复习参考题的18题中训练综合推理的3题,要求必须用向量方法的4题,其 余11题主要求解角度与距离,没有方法的限制。这就揭示了教材编写者的意图是希 望双管齐下的解决立体几何问题。前期以兴趣培养为主,后期则主要以应用为主,对 逻辑推理的要求大大降低。从应用的角度思索,题量也略显单薄,还应根据学生情况 —— —— 皇竺些堡墼兰塑茎塑堑堡塞 加以补充。 5、学习类型与任务分析 (1)学习内容类型分析。 ①第一部分与第二部分一数学事实和数学概念。 ②第三部分与第四部分——数学技能。 (2)学习形式类型分析。根据前面背景分析与其他知识的联系分析可知,在学 生的学习结构中立体几何相关概念是初中平面几何的延伸,空间向量是高一平面向量 的扩展,因此本部分的概念学习属于下位学习。 (3)学习任务分析。 重点培养学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力。第一部分空间的平 行、垂直概念是把平面向量推广为空间向量的理论基础。内容的安排以性质为主线展 开,培养学生的空间概念、空间想象能力和逻辑思维能力。积极引导学生使用向量代 数方法解决立体几何问题。 §2、2 对象的分析 1、学生 教学设计的目的是为了让学生更好的学习。教学目标是否实现,要在学生的学习 活动中体现出来。为了取得较好的教学效果,教师必须了解学生的情况。通过对学生 情况的分析,了解学生的准备情况和学习风格,为教学内容的选择和组织、教学目标 的编制、教学活动的设计、教学方法和媒体的选用提供可靠的依据。从大的方面上看, 我们的学生较以前的学生相比可谓见多识广,改革近二十年,新知识不断更新,电视、 报纸、电台、网络已经走入学校生活,学生的接受能力已在不断加强,对新知识的接 受能力也大大增强。从小处看,学生在学习中已经不再是被动的接受者,而是教学的 主体,所以研究学生的实际学习状况和能力对我们即将进行的教学探索意义重大。@ 白银公司第一中学是一个企业学校,建校近50年,生源大多来自白银公司职工 家庭,一直接受公司的教育,程度、家庭、思想相对比较一致。但随着近年来学校教 学名气提高,对白银市部分经济条件不错的学生也构成了吸引,所以我们这届生源比 较复杂,基础也不相同,加上绝大多是独生子女,所以教学上有一些难度。加上我们 学校的实际师资情况非常紧张,当时正值生源扩大,大批老教师退休,所以正是新旧 交替,青黄不接之时。 因为我校是白银地区的老牌名校,学生入校时名义上是平行分班,但实质上受多 @奚定华主墒.教学教学设计,华东师范大学出版杜,2000,52~53 8 立体几何教学设计的新探索种因素的影响,各班层次相差较大,如果选取试验和对照是没有太大的可比性的,再 立体几何教学设计的新探索 种因素的影响,各班层次相差较大,如果选取试验和对照是没有太大的可比性的,再 者我们的目标是整体的提高,所以我们一致决定选取整个年级进行试验,用效果作为 检测的尺子。 白银公司第一中学2002级全体学生。(共486名,其中255名女生,231名男生, 正规录取学生411名,75名试读生,入校成绩从410到715分不等,另外其中约有 16%的外单位学生) 2、教师 教师是教学得以顺利进行的主要对象之一,是学习过程中的引导者和先行者。学 生获得知识的多少在某些方面是受教师的水平和能力的制约的。所以研究教师的实际 教学能力和教学水平,对我们即将进行的教学探索是至关重要的。 我们年级一共有四个数学教师,都毕业于西北师范大学,年龄也相仿。具体情况 是: 1、刘老师,32岁,中教一级,毕业于95年,2001年调入高中部,两年高中教 龄,教过一年立体几何: 2、王老师(女),36岁,中教一级,毕业于92年,2002年调入高中部,没有 教过立体几何; 3、李老师,31岁,中教二级,毕业于97年,2002年调入高中部,没有教过立 体几何; 4、本人,3l岁,中教一级,毕业于95年,一直在高中任教,有两届完整的教 学经验,任年级数学备课组长。 另外我们聘请了同教研室的另外两位经验丰富的老教师作为我们的实验和探索 中的合作者: 1、宋老师,中教高级,45岁,86年毕业于长春师范学院,多年教学经验,高中 把关教师。 2、赵老师,中教高级,48岁,82年毕业于甘肃师专,92年又在西北师大继续 进修,多年教学经验,高中把关教师。 §2、3 研究的方法 (1)比较研究法。比较就是根据一定的标准,把彼此相关的事物联系起来进行 考察,确定其异同,找出其内在联系和共同规律,以把握研究对象所特有的质的规定 性。我们在研究教材时主要采用这种方法,通过比较新旧教材的变化,寻求我们要探 索的解题模式;通过外国教育模式与我国的相关内容比较寻找最为可行的教学策略; 通过对优生与差生解题思维过程的比较研究,分析可能的原因,为教学提供有针对性 ——一一一 ——一一一 兰堡!!旦鍪堂堡生堕堑壅窭 的措施。 (z)文献法·是专门对收集的文献进行分析研究的方法。我们主要通过此法指 导我们的探索过程,虽然研究相关的文章很少,但通过文献对我们的探索思路给予了 很多舒展的空间。 (3)观察法。观察法是有计划地用自己的感官或借助仪器与装置,对其所要研 究的对象进行系统观察和考察所取得研究资料的方法。我们主要用此法研究在我们的 探索方案中的学生的学习情况,大概有两类途径: 『lJ一般性了解。课堂教学具有连续性,教师对前一段时间的上课、批改作业、 课内外辅导以及测试和考试,对前一阶段学生学习的一般情况有一定了解。对学生原 有的基础、前面的数学知识和技能掌握的情况也有大体的了解。 12J个别谈话和书面测试。在教学空闲,我会经常和学生与老师探讨一段时问 内的学习和教学心得,在交谈中及时发现其中的问题和闪光点,进而不断完善我们的 设想。 第三部分立体几何教学设计的探索与分析 §3、l缘起与设计 本研究是在2002“2004年间进行的,包括准备设计阶段和实验操作阶段。2002 年9月开始我校使用全日制普通高级中学教科书(人教版)的教材,当时我们就发现 《数学(第二册、下B)》中立体几何部分与以前的课本是有很大差距的,无论是课 时量还是内容安排上都有许多变化,教学要求也有很大变化。为了提高教学水平、教 学质量,虽然我一直在不断探索和学习,也正在西北师范大学攻读教育硕士,可还是 感到力不从心,所以我们制定好方案后,又与高三的把关教师宋业军和赵宝铎老师按 照《全日制普通高级中学课程计划(实验修订稿)》和《高中数学课程标准》中有关 指导思想,经过多次磋商,才进行了一系列教学实验和教法的改革探索。根据以往的 教学经验我们大胆的做了一个决定,改变课本的教学体系,以一种全新的方式进行授 课;由于我们教师有一半没有立体几何的教学经验,所以我们要求教师首先学习原来 的教材,搞清立体几何基本知识中关于综合推理部分的知识结构,同时复习关于高一 的平面向量相关内容,为我们教学设计的探索打好基础。实验操作阶段是于2003年 3月’2003年5月间进行的,我们将按照学习的特点将立体几何教学分成四个阶段, 以层次递进的教学模式进行教学活动,具体安排如下: (一)基本理论支撑部分(12课时) 【设计思路】 教育心理学告诉我们,学生的认知结构越完整,他们解决问题、接受新知识的能 立体几何教学设计的新探索力就越强,因此我们在教学中十分注重知识的系统性、逻辑性,采用目标指引式教学 立体几何教学设计的新探索 力就越强,因此我们在教学中十分注重知识的系统性、逻辑性,采用目标指引式教学 模式,在第一节课程开始就向学生说明我们一段时间内要进行的教学内容,并以框架 结构的形式展示给学生,使学生明确我们即将学习和研究的问题是什么;有什么样的 要求;学习研究问题的一般方式是什么,在一段时间内不断的回馈知识框架图,以尽 可能少的时间使学生学到尽可能多的基础理论知识。争取基本上将本章概念问题全部 处理掉,要求理解为主,并不做过高要求,尽量给学生留够时间整理自己的认知结构。 为以后的教学做好铺垫工作。 【教学方案】 (1)第一课时介绍立体几何研究对象和学习方法及下面的知识结构框架图: f囊客 平面{性质 IM法 f菇喇臀 直线和直拽{ fI晓: l异面直拽{异面直垃所酿角 I I异面直境的距离 平行滕 直蛀和平面 l歪肓 直线和平面 {直墟在平面并 相交f::{冀:定理 f判定 平行{性质 }压葛 平面和平面 f辩变一平面角的作法 帔一珊{驰甾 (2)第二课时讲解平面的概念、性质和画法: 讲解时我们注重学生对图形的认识,作业以识图、画图为主,要求自制模型, 重在提高他们的学习兴趣。 (3)第3~5课时讲解直线和直线部分相关内容: 讲解时重在学生理解和记忆概念,并辅助相关基本习题,不要求学生掌握具体 的推理证明,关键是对异面直线的相关概念的识记。 (4)第6~8课时讲解直线和平面部分相关内容: 讲解时注意对照线线关系的研究思路,授课时多以讨论和引导为主,在作业和 练习中以能作出线面角的平面角为主要培养方向,注重培养化空间为平面的训练。 (5)第9~12课时讲解平面和平面部分相关内容。 讲解时注意培养学生进行对比记忆,对定理进行分类划分整理。注重横向联系, 皇竺些塑墼堂垦盐堕堑塑塞 培养学生进行自我学习。 【教学反馈】 在本阶段结束之后,我们组织教师进行第二次集体备课,总结前面的教学中 存在的问题,并对下一步教学提出修改意见。我还和许多学生在课余时间一起探讨学 习心得,通过和学生的交流,了解他们对学习内容的掌握程度。通过了解,学生并不 因为我们加快了学习的进度感到学习吃力,几乎所有人(包括没有教过立体几何的教 师)都认为在结构图的引导下,学习的目标非常明确,学习的条理分明,加上我们的 作业少,学生都觉得我们数学老师对他们最好,最体谅他们,所以也对我们的工作十 分支持。 (二)基本求解模式形成阶段(8课时) 【设计思路】 本部分是我们解决立体几何问题的主要依据,所以在此部分的教学过程中,我 们要对立体几何问题解决得一般模式做一说明。即:一种解决思想—转化的思想,包 括空间向平面转化(综合推理)和几何向代数转化(向量);两种证明问题—平行和 垂直;三种角的求解—异面直线所成角、线面角和二面角;四种距离的求解一点面距 离、线线距离、线面距离和面面距离。至此,我们将大部分授课内容已经讲完,虽然 没有完全按照课本进行教学,但由于我们将目标制定的非常明确,学生并不感到学习 的吃力。而且由于我们有意识的淡化了综合推理的教学,只要求学生理解并记忆概念 和模式,大多数学生并没有因为缺乏空间想象能力而掉队。 【教学方案】 (1)空间向量及其运算(共4课时;其中安捧2课时自学) 基本按教材中的安排进行教学,根据高一所学的平面向量采用引导式自学,可节 约教学时间。在新版教材9(B)中引入了空间向量的有关内容,我们在教学中及时 加以引导,让学生与高一(下)第五章平面向量的公式和概念进行类比,使之弄懂这 些公式的联系与统一。如平行向量(共线向量)都可以被直线上一个非零向量线性表 出;共面向量都可以被平面上两个不同方向的非零向量线性表出;空间向量都可以被 空间三个不同方向的非零向量线性表出。同时指出这就是向量法解立体几何题的理论 基础。又如不论平面内还是空间中两向量垂直的充要条件都是它们的数量积为零,其 坐标表示除了多了一个竖坐标,其计算方法变化不大。从而使学生化陌生为熟悉,大 大减少了对立体几何学习中的畏难情绪。 (2)立体几何问题求解一般模式(4课时)。 立体几何中一个很重要的问题就是空间直线与平面的位置关系,我们让学生从整 12 立体几何教学设计的新搛累体上把握这么几点: 立体几何教学设计的新搛累 体上把握这么几点: ①空间直线与平面包括线线、点面、线面、面面四种位置关系; ②研究的角度是定性和定量两个方面。定性方面主要包括相交、平行、异面、包 含、重台等,重点是平行和垂直两种位置关系。平行的核心是线线平行,垂直的核心 是线面垂直;定量方面则包括三种角(线线、线面、面面)和五种距离(点点、点面、 线线、线面、面丽),角的核心是线线角的方法,距离的核心是点面距离; ◎研究的方法也是双方面的:综合推理和向量法。 在学习立体几何的过程中,由于判定定理和性质定理很多,学生往往混淆不清。 为此,我们引导学生寻找这些定理之间的内在联系,同时强调指出某个关系的判定定 理,是指在什么条件下保证此关系成立;而性质定理,则是指此关系成立后,可推出 的结论;同一个定理既可以说是这个位置关系的判定定理,又可以是另一个位置关系 的性质定理,如“垂直于同一个平面的两条直线平行”既可以看作是线面垂直的性质 定理,又可以看作是线线平行的判定定理。其次我们要求学生重视平面几何中的相关 定理,并将其与立体几何中的定理结合起来,作为解题的理论基础。 问题求解与证明问题的求解框架图如下: I利用兰角形的中位蛾 I异面直线黼{::裟翳::;震擀 城线平彳亍{::ii:;;i质 角的求解恤融的榭篇;:::篓嚣;禳冀 l应用直线的方向向量 f利用判定定理 I=面角的求解{::;::!:::;i:i:隶解 拽面平行{::::i:;i量古论 I f利用定_望捌两并在平面内求解 I应用法向量与方向向量 束解向磨模式 l点面距离{应用任意连线在法向量上的投影求解 I i借助三棱镶的体积公式转化求解 r利用判定定理 面面平行牌::i:鬟 一解j 叫嚣禁篙蒸种榔 l应用平面法向量共钱 证明鳍题模式 l境面砸离{::;::::i:面内求解 f利用相关定理 忙离催勰::黧酗捕 鼓线垂直t通过求解得到 l应用方向向量 f利用判定定理 【教学反馈】 拽面垂直{::i::;定理 I应用方向向量与法向量 本段教学最无趣,目的就是要学生强 f利用判定定理 行记忆上述两个求解、证明模式,虽然也 商面垂直{::i:i;定理 I应用法向量 会举几个例子,但主要还是记忆为主。因 为要求速度,所以全靠学生死记硬背,在后来的了解中,学生反应真正的理解和记忆 是在第三阶段的强化训练才完成的。所以今后的第二次实验中,我们将这一阶段分成 两部分,第一部分是向量部分,课时量改为5课时;第二部分与下~阶段合起来共记 立体几何教学设计的新探索11课时,相仿于第一阶段的结构引导式教学进行。 立体几何教学设计的新探索 11课时,相仿于第一阶段的结构引导式教学进行。 (三)基本求解模式训练阶段(8课时) 【设计思路】 采用双管齐下的方式训练、巩固前面所学的立体几何问题解决模式,由学生根 据自身喜好选择采用综合推理还是应用向量的代数方式解决实际问题。大多采用小组 研讨形式授课,既调动了学生的学习兴趣,也增强了他们的合作意识。而且将前面所 学的模式理论与实际相结合,促使学生各自的解决模式初步形成。 【教学方案】 当学生掌握了解题的基本理论和解题的基本思路之后,培养他们形成一定的解题 套路就显得尤为重要了,否则学生只是一部解题的机器,而非一个具有独立思考、独 立解决问题的人。所以我们认为在“双基”训练的基础上还应该加上基本题型及其处 理方案的训练。(这也是克服“题海战术”,实施“精讲精练”的手段之一)解题模 式我们采用构造性解法与非构造性解法并重,“分层次、阶梯性”训练,由学生根据 自身情况自主选择的主导思想进行教学。所谓构造性解法,即根据立体几何中关于空 间图形的定义,通过构造出(或找到、作出)所研究对象的相应的平面图形来解题的 方法,如作出二面角的平面角从而求得二面角、作出异面直线的公垂线段从而求得异 面直线的距离、利用相交直线刻画异面直线所成角和线面角等;所谓非构造性解法, 即直接利用立体几何中有关公式、定理绕过构造平面图形的过程直接得到问题的结论 的方法,如利用向量的夹角公式计算异面直线所成的角、利用向量的射影公式求点面、 线线、线面、面面的距离,以及利用异面直线所成角公式和空间射影定理求二面角等· 【课堂实录】关于‘异面直线所成角)研讨训练: (1)教学目的 ①让学生在解决问题的过程中提高思维品质,发展思维能力; ②发展学生综合使用所学数学知识解决问题的能力; ③加深学生对解题模式的应用,重点解决有关异面直线所成的角的问题解决。 (2)设计思路 ①教学设计采取层层剥笋、逐步深入、适当分散难点的思路,将整节教学内容分作三 段: @从复习异面直线所成的角的概念入手,引导学生抓住解决问题的关键是构造 出平面角,并指明要注意的问题和可能造成错误的原因a @通过分析问题的关键所在,使学生产生解决的思路,并通过比赛与讨论的方 式调动他们的学习热情,培养他们形成自己的解决问题的固有模式。 立体几何教学设计的新探索@总结并补充整理学生的最终结果,系统分析解决此类问题的一般思路和解决 立体几何教学设计的新探索 @总结并补充整理学生的最终结果,系统分析解决此类问题的一般思路和解决 的关键所在,注重规范格式习惯的养成。 ②本节安排两个例题,一个是正方体,一个是三棱锥,都是高考重点考察的几何体, 虽然此时没有系统学习什么是几何体,但是因为我们关注的只是空间最基本的几何图 形——点、线面,所以学生不会因为缺乏空问想象力而过早放弃思考。 ③应扣住定义思考问题,这是数学的重要思想方法,而学生往往只注重解题技巧,忽 视这种较为朴素的思想方法的训练。这节课在这个方面应有较高的要求和较多的训 练,例如在异面直线定义的复习中,教师要求学生回答问题一定要追根究底,力图一 开始就给学生心理上形成一种呼之欲出的感觉。 ④以旧引新、以新带旧是上好数学课的重要原则。这节课在这方面做了一些考虑,从 旧知识引进新知识,讲解时尽量回扣旧知识,同时还为以后教学设下伏笔,为以后教 学分散一些难点。 (3)教学过程 T:同学们,今天我们练习求解异面直线所成角的相关问题,首先我们回忆一下什么 叫异面直线所成角?求解的一般方案是什么?想一想,谁能告诉我? s。:在空间任取一点,过这点分别做两异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐 角或直角就是这两异面直线所成的角。 T:很好,还有什么方法可以刻画异面直线所成的角? S。:还可以用两直线的方向向量所成的角来刻画。 T:她说的对不对呀? [绝大多数同学认为对.S2等一部分同学认为不对。于是请S2说明。] s::两向量所成角可以是钝角,但异面直线所成角不能是钝角,所以她说的不完全对。 T:非常好!那你能不能说说异面直线所成角的一般求解方案呢? s。:可以。一般有两种方法:一是利用定义刻画出其平面角,然后将这个角放入一个 平面图形(一般是三角形)中求解;二是先求出两直线的方向向量,然后按照两向量 的夹角余弦公式求出其余弦值,进而根据已知三角函数值求角,得到所求异面直线所 成的角。 T:s。同学说的很好。我再补充两点: (抗屠最璐号绘学刀) l、利用构造性解法解决此类问题的时候,一般我们不会在空间任取一点,因为在实 际中我们是用线段表示直线的,所以一般我们会选择其中一条线段的断电或中点作为 “空间的任意一点”,这样对我们解决问题会有好多便利之处。 2、用向量求解实际问题时,也不一定非要求直线的方向向量,用直线上任意两点间 立体几何歙学设计的新探累的向量就可以了,而且为了求解方便,我们记忆的公式应该是直接加上绝对值的: 立体几何歙学设计的新探累 的向量就可以了,而且为了求解方便,我们记忆的公式应该是直接加上绝对值的: cos口=COS瓦百J;J些 ’15I·bI 下面我们看一下练习题1: (震东谚扩龟D 已知长方体ABcD-A。B,C。D。中,AB-=4,Bc=3,cc。=2,求异面直线A。c。与肋,所成角的 余弦值。 现在请大家按照前面所说的一般求解模式尝试求解,看谁做得又对又快,看看最 后你们能得到几种解决方法。(凝发岁簪趣亲身缮盟) [教师通过引导掌生回顾旧知识的过程。增加掌生对基本解题模式的记忆和认识, 有助于学生知识的正迁移.使学生在本节课上得掌习容易获得成功.从而激戋他们的 掌习兴趣.进而达到本节课的教掌目标。] 在学生开始做题时,我来到台下巡视,发现绝大多数同学都开始动笔做题了,还 有一些同学也在做着有效的尝试,看来很快也会找到突破的途径,这说明大家对这个 问题的理解还是比较到位的。但是有个成绩不错的S,同学显得心不在焉、左顾右盼, 我过去一看他的练习本上胡乱勾画了几个式子,后面跟了一个正确答案。原来他觉得 这个问题很简单,很快就算完了,所以无事可做。我首先肯定了他的答案,赞扬他聪 明,同时又向他指出,在高考中这种问题并不是只要得到答案就给满分的,还应该有 必要的步骤,如果平时不好好养成习惯,高考时会因此失去许多分。既然他是好学生 就更该严格要求自己,好好利用自己的聪明才智,把握自己思路快的优势,在平时就 好好练习解题的格式。(指导学习方法)要求他按照格式重新做一次,并鼓励他采用 多种方案求解。之后,我又发现一个成绩较差的同学&一脸愁容、面带焦虑,不断 地翻看前面的笔记和课本,我想她是遇到了困难,上前一看,发现她将A-c-进行平移 使Al与B重合,可线画到了长方体的外面,她想象不出如何把它们放到一个平面。 我提示她换一个思路,先找一个自己可以解决的方案(在正方体或长方体等建系方便 的立体几何问题中,应用向量求解是比较方便的),我告诉她有时在考试中遇到自己 解决不了的问题,不要陷入其中,学会先放一放,先做自己会的,等拿下了会的再思 考不会的。(指导考试技巧)大约十分钟后,几乎所有的同学都做完了,我发现大多 数同学采用的是向量的方法,于是我把S。刚才的问题提出来,希望他们解决,我把 他们分成八个小组,让他们讨论。 [我有意识的在讲座上并排放了两个粉笔盒用以提示.但我不想明说.我想应该 让他们自己发现做法.遗样他们会记忆更深刻。] 不久,有一个小组首先提出了补体的方法。这时我们一共得到了三种做法,我把 立体几何教学设计的新探索它们都写到黑板上: 立体几何教学设计的新探索 它们都写到黑板上: [解法1:采用补体法,利用平行四边形构造,根据余弦定理求解] 如图1,在长方体ABCD-A-B-C-D-旁边补做一个同样大小的长方体BEFC-B,GHC,,因 cos Z,41CIE=l垮鼎掰- 为BE//D。c。所以D。B丝c。E,贝q根据异面直线所成角的定义,ZA。c。E就是所求异面直 线所成的角(或其补角),在AA。c。E中根据余弦定理可求,即: 1西 145 AI F A [图1] [解法2:利用三角形的中位线构造,根据余弦定理求解] 如图2,连接B。Dl交AIC,于M,取BBl中点N,连接洲,连接Nc。,在AA。C。E中,/C,心 就是所求的异面直线所成角,在AC。MN中,根据余弦定理可解出题目结果。[同上面 类似,故解略] AI A 【圈2] [圈3] [解法3:采用非构造性解法,利用向量的夹角公式求解] 如图3,以D为坐标原点,DA,Dc,DD.所在直线分别为x轴,Y轴,z轴建立空间直 角坐标系,贝qAtC,2(-3,4,O),DtB 5(3,4,一2),故异面直线所成角的余弦值为: cos口=J cosAICl,DtB斗蒜鲁嵩=簪 [然后瑟要求他们把这些做法记到笔记本上.并希望他们课后能够仔细的阅读, 从而将知识竞为自己的。] 立体几何教学设计的新探索接着,我又给出了训练2: 立体几何教学设计的新探索 接着,我又给出了训练2: (质丽:暂目) 在空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与cD成60角,点M,N分别是Bc、AD 的中点,求异面直线^B与心所成角的大小。 请他们自己思考解决。这回比较熟悉了,所以8分钟后绝大多数同学也做出了 正确的答案。我又同

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